你也可以在自己的Linux kernel 源码目录执行以下命令生成自己的pdf，但何必自己造轮子呢。
sudo apt-get install sphinxsearch
sudo apt-get install python-sphinx-rtd-theme
sudo apt-get install texlive-latex-recommended
sudo apt-get install texlive-base
sudo apt-get install graphviz
sudo apt-get install imagemagick
/usr/bin/virtualenv ~/sphinx_version
. ~/sphinx_version/bin/activate
pip install -r Documentation/sphinx/requirements.txt
make pdfdocs本文记录在我笔记本上安装最新版本RTAI（5.2）的过程和中间遇到的问题及解决方法，虽然不能覆盖所有问题，但希望能给后来者一些帮助。
安装的主要步骤：
1、安装操作系统和工具；
2、给内核打补丁并配置；
3、安装打补丁的内核与RTAI。
步骤一：安装操作系统和工具
1.1 安装操作系统
我选择的是Ubuntu18.04，因为这是带Linux 4.**.***内核的最新Ubuntu 版本（Ubuntu19.04 是以Linux5.**内核开始了）。而RTAI5.2 支持的最新内核版本即为4.14.111；
1.2 安装工具
这些工具是内核编译时需要的，下面命令可以保存为脚本执行
sudo apt install libncurses5-dev
sudo apt install libssl-dev
sudo apt install bison
sudo apt install flex
sudo apt install libssl-dev
sudo apt install libelf-dev
sudo apt install make gcc
sudo apt install patch
sudo apt install unzip
sudo apt install autoconf
注意：如果你使用的是不同的Linux 发布版（Redhat或openSUSE），有些包的名称是不同的，比如对于Redhat，libssl的安装包是libssl-devel。
注意：如果你采用的是Ubuntu16.04，那么可能因为包依赖的原因，你无法用apt install 命令安装libssl1.1，而这个包是在编译4.14.111 内核时必须的，所以建议你要么换更高版本OS，要么在Ubuntu 网站（ https://packages.debian.org/stretch/amd64/libssl1.1/download ）手动安装该包（sudo dpkg -i libssl1.1_1.1.0k-1~deb9u1_amd64.deb）。
1.3 安装已编译的Linux 内核4.14.111 （可选的）
该步骤是可选的，它会给系统安装上Linux4.14.111 的内核，从而获得一个默认的内核配置文件供后面使用，如果你是第一次安装RTAI，建议你执行该步骤。
在内核网站 https://kernel.ubuntu.com/~kernel-ppa/mainline/v4.14.111/ 下载内核安装包：
cd ~/Downloads/
wget https://kernel.ubuntu.com/~kernel-ppa/mainline/v4.14.111/linux-headers-4.14.111-0414111_4.14.111-0414111.201904052241_all.deb
wget https://kernel.ubuntu.com/~kernel-ppa/mainline/v4.14.111/linux-headers-4.14.111-0414111-lowlatency_4.14.111-0414111.201904052241_amd64.deb
wget https://kernel.ubuntu.com/~kernel-ppa/mainline/v4.14.111/linux-image-unsigned-4.14.111-0414111-lowlatency_4.14.111-0414111.201904052241_amd64.deb`
wget https://kernel.ubuntu.com/~kernel-ppa/mainline/v4.14.111/linux-modules-4.14.111-0414111-lowlatency_4.14.111-0414111.201904052241_amd64.deb
然后使用dpkg -i 命令安装
sudo dpkg -i *.deb #执行该命令是可能会遇到错，再重新执行该命令可以解决；
sudo update-grub
sudo reboot
重启后可以在Grub （长按shift进入Grub）中看到安装后的内核有“Generic” 和“lowlatency” 两种。如果进入Grub 有困难，在Grub 配置文件（/etc/default/grub）中修改配置`GRUB_TIMEOUT_STYLE=hidden` 为`GRUB_TIMEOUT_STYLE=false`并更新Grub 菜单`sudo update-grub`。
步骤二：内核打补丁和编译
2.1 下载内核 （https://cdn.kernel.org/pub/linux/kernel/v4.x/）
内核的名称为 linux-4.1.111.tar.gz，为之后编译和安装方便，将源码解压到`/usr/src` 中，并创建一个软链接到该源码目录。
cd /usr/src
sudo tar xvf linux-4.1.111.tar.gz
sudo ln -sf linux-4.1.111 linux
然后，从`/boot` 中拷贝配置文件：
cd /usr/src/linux
sudo cp /boot/config-4.14.111-0414111-lowlatency .config
如果你已经有了一个配置文件（比如你安装过老版本RTAI，在其Linux 内核中拷贝其配置文件即可）uIf you already have a configuration file (e.g. in your old RTAI patched Linux system), just copy it to the source path(`/usr/src/linux`).
2.2 给内核打补丁（Ubuntu 的补丁和RTAI 的补丁）
Ubuntu 是Linux 的一个发行版本，并对Linux 内核代码做了少量修改，所以在编译内核前应该打上Ubuntu 的补丁（https://kernel.ubuntu.com/~kernel-ppa/mainline/v4.14.111/）。
cd ~/Downloads/
wget https://kernel.ubuntu.com/~kernel-ppa/mainline/v4.14.111/0001-base-packaging.patch
wget https://kernel.ubuntu.com/~kernel-ppa/mainline/v4.14.111/0002-UBUNTU-SAUCE-add-vmlinux.strip-to-BOOT_TARGETS1-on-p.patch
wget https://kernel.ubuntu.com/~kernel-ppa/mainline/v4.14.111/0003-UBUNTU-SAUCE-tools-hv-lsvmbus-add-manual-page.patch
wget https://kernel.ubuntu.com/~kernel-ppa/mainline/v4.14.111/0004-adhoc-from-__future__-import-syncconfig.patch
wget https://kernel.ubuntu.com/~kernel-ppa/mainline/v4.14.111/0005-UBUNTU-SAUCE-no-up-disable-pie-when-gcc-has-it-enabl.patch
wget https://kernel.ubuntu.com/~kernel-ppa/mainline/v4.14.111/0006-debian-changelog.patch
wget https://kernel.ubuntu.com/~kernel-ppa/mainline/v4.14.111/0007-configs-based-on-Ubuntu-4.14.0-11.13.patch
cd /usr/src/linux
sudo patch -p1 < ~/Downloads/0001-base-packaging.patch
sudo patch -p1 < ~/Downloads/0002-UBUNTU-SAUCE-add-vmlinux.strip-to-BOOT_TARGETS1-on-p.patch
sudo patch -p1 < ~/Downloads/0003-UBUNTU-SAUCE-tools-hv-lsvmbus-add-manual-page.patch
sudo patch -p1 < ~/Downloads/0004-adhoc-from-__future__-import-syncconfig.patch
sudo patch -p1 < ~/Downloads/0005-UBUNTU-SAUCE-no-up-disable-pie-when-gcc-has-it-enabl.patch
sudo patch -p1 < ~/Downloads/0006-debian-changelog.patch
sudo patch -p1 < ~/Downloads/0007-configs-based-on-Ubuntu-4.14.0-11.13.patch
下载RTAI5.2 并给内核打上相应的补丁 ：
wget https://www.rtai.org/userfiles/downloads/RTAI/rtai-5.2.tar.bz2
sudo cp rtai-5.2.tar.bz2 /usr/src/
sudo tar xvf rtai-5.2.tar.bz2
sudo ln -sf rtai-5.2 rtai
cd /usr/src/linux
sudo patch -p1 < /usr/src/rtai/base/arch/x86/patches/hal-linux-4.14.111-x86-3.patch
同样方便起见，我们也为rtai 的源码创建了一个软链接。
注意：安装RTAI补丁和PREEMPT-RT补丁的过程是类似的，如果你想安装PREEMPT-RT补丁，它的地址在这里。下载xz或gz格式后的补丁，可以用xz工具解压发现，是一个个编了序号的补丁，通过下面命令逐个应用补丁
patch -p1 -i /path/to/004-patch.x.y.z
也可以通过下面命令应用所有补丁
xzcat /path/to/patch.xz | patch -p1
bzcat /path/to/patch.xz | patch -p1
2.3 配置内核
配置内核主要参考下面的资料：
如果你的配置文件是从其他老的内核里拷贝过来的，首先应执行：
cd /usr/src/linux
sudo make oldconfig
否则直接执行：
sudo make menuconfig
下面是配置项中应修改的部分：
[改为 -rtai] General setup -> Local Version
[改为 None] General setup -> Stack Protector buffer overflow detection
[Enable] Processor type and features -> Interrupt pipeline
[Disable] Power management and ACPI options -> CPU Frequency Scaling
[Disable] Power management and ACPI options -> ACPI Support -> Processor
[Disable] Power management and ACPI options -> CPU Idle -> CPU idle PM support
[Disable] Kernel hacking -> Compile-time checks and compiler options -> Compile the kernel with debug info
[Disable] Kernel hacking -> Tracers
[Disable] Device Drivers -> Microsoft Hyper-V guest support
[Disable] Device Drivers -> Staging drivers -> Data acquisition support (comedi)
在 README.CONF_RMRKS 文件中要求disable `AUDITSYSCALL`，但是我们在选项中没有找到这一项。一个可替代的方法是编辑 `/usr/src/linux/init/Kconfig`文件，找到`AUDITSYSCALL` 如下部分：
config AUDITSYSCALL
def_bool y
depends on AUDIT && HAVE_ARCH_AUDITSYSCALL
替换为：
config AUDITSYSCALL
bool “Enable system-call auditing support”
depends on AUDIT && HAVE_ARCH_AUDITSYSCALL
default y if SECURITY_SELINUX
help
Enable low-overhead system-call auditing infrastructure that
can be used independently or with another kernel subsystem,
such as SELinux.
然后，你就可以在‘General Setup’选项下看到`ADUITSYSCALL`，取消即可。
如果你的主机是多CPU 或多核的，那么 `Processor type and features` 下的SMP 选项要使能（enabled），并且最大CPU 个数（`Maximum numbers of CPUs`）不应小于物理核心个数（即不考虑Hyperthreading）。因此，建议你在BIOS 中取消Hyperthreading。
步骤三：编译安装内核和RTAI
3.1 编译和安装Linux 内核
cd /usr/src/linux
sudo touch REPORTING-BUGS
sudo make -j3
sudo make modules
sudo make modules_install
sudo make install
sudo update-initramfs –c -k 4.14.111-rtai [注意修改这里的版本名称]
sudo update-grub [注意修改/etc/default/grub 启动项为自己的内核]
sudo reboot
从Linux 内核网站下载的4.14.111 版本的源码目录下没有`REPORTING-BUGS`这个文件，可能会导致你在编译的时候遇到`recipe for target ‘kernel_headers’ failed` 的错误，所以我们首先创建了这个文件。
如果一切顺利的的话，你重启后将在Grub 上看到你自己编译的内核选项：ubuntu18.04_4.14.111-rtai 。
3.2 安装RTAI5.2
RTAI 需要autotools 生成链接编译工具：
cd /usr/src/rtai
sudo autoconf
sudo ./configure
接着配置RTAI ：
sudo cp ../linux/.config .rtai_config
sudo make menuconfig
将CPU 个数（`number of CPUs`）设置为实际的物理核心个数即可。
sudo make
sudo make install
如果在编译时遇到下面的错误：
make:execup: .//config.guess: Permission denied
make:execup: .//config.sub: Permission denied
手动修改权限后再编译：
chmod 764 ./config.guess
chmod 764 ./config.sub
RTAI 默认的安装路径是`/usr/realtime`，其中`modules`目录下是编译后的模块库， `testSuite` 目录下是RTAI 的测试程序，通过手动加载模块和运行测试程序可以验证RTAI是否安装成功。
cd /usr/realtime/modules
sudo insmod rtai_hal.ko
sudo insmod rtai_sched.ko
sudo insmod rtai_fifos.ko
sudo insmod rtai_sem.ko
sudo insmod rtai_shm.ko
sudo insmod rtai_rtdm.ko
一般来说，负责进程调度的 rtai_sched.ko 模块如果加载后无死机，则安装成功。
可能遇到的问题
最后罗列一些可能遇到的问题：
1 编译内核时， `implicit declaration of function ‘ipipe_root_**_syscalls’ did you mean ‘ipipe_handle_syscall’ ……` 错误
原因：在内核配置里，ipipeline 没有使能（Enable）;
2 加载`sudo insmod rtai_hal.ko` 和`sudo insmod rtai_` 后，系统冻死，键盘和鼠标均无响应
可能原因：General setup -> Stack Protector buffer overflow detection 选项默认是`Strong`，应设置为`None`或 `Regular`，更多配置项参考 README.CONF_RMRKS 。
3 不能进入编译Linux内核后的系统，提示`Gave up waiting for root file system device. Common problems: …… ALERT! UUID=8e478c20-25e4-49c0-…… does not exist. Drop to the shell`.
可能原因：系统无法识别存储设备，注意配置内核时关于存储的驱动（SATA/PATA）要使能，因为我是在U盘中安装的系统，因此U盘相关的驱动也得使能。
4 当准备加载 rtai_hal.ko 模块时，提示`ERROR: Could not insert module rtai_hal.ko: Operation not permitted`错误，系统日志Syslog(`/var/log/syslog`) 提示`RTAI[hal] RTAI configured with less than num online CPUs`。
可能原因：RTAI 配置的CPU 个数比实际CPU 核心数要多，切记不要算上超线程（Hyperthreading）。
以上错误远不能包含所有你在安装RTAI 时遇到的问题，但你还可以借助下面的工具来帮助你的调试。
一些有用的命令和工具
dmesg
sudo cat /var/logsys
Systemctl -failed # 查看哪些内核没有被正常加载
www.rtai.org
dpkg –list | grep linux-image
参考：
[1] Finding the most fault-tolerant flat XOR-based erasure codes for storage systems [PDF]
[2] Determining fault tolerance of XOR-based erasure codes efficiently [PDF]
本文内容主要来源于上面两篇文章，主要讨论暴力搜寻方法具有最大容错能力（most fault-tolerant）的扁平（Flat）XOR 码。
XOR 码是通过异或运算（exclusive OR）进行数据编码、解码和重建的编码方法，其生成矩阵可以用1/0 二进制矩阵表示。
扁平码是一种每个节点只保存一个符号（数据块），即生成矩阵的每一行（列）对应一个节点。k 和m 分别表示原始数据块个数和校验块个数的话，扁平码的生成矩阵是一个(k+m)×k 大小的0/1 矩阵。常见的RS 码是扁平码，但不是XOR 码；CRS 码不是扁平码，是XOR 码。
暴力搜索通过遍历所有的解空间（所有可能的(k, m) 编码），通过计算每个解的性质，找到满足条件的编码。一个(k+m)×k 大小的0/1 矩阵有2^((m+k)×k) 种可能的二进制矩阵，如果将编码限制在系统码中，则有2^(m×k) 种可能的二进制矩阵。
[2] 中介绍了一种ME （Minimal Erasures）算法，是暴力搜索的关键，该算法通过找到最小失效列表（Minimal Erasure List）寻找某种编码的最大容错能力。ME 算法会用到几个术语：
汉明距离（Hamming distance）：如果一个编码的汉明矩阵是d，那么它能容忍的最大失效节点少于d 个。
失效样式（Erasure pattern）：一组失效（的数据块）使得有一个原始数据块无法被恢复。
失效列表（Erasure list）：所有失效样式的集合。
失效矢量（Erasure vector）：长度为m 的矢量，其中第i 个元素是失效列表中长度为i 的失效样式个数的总和。比如 < 0, 0, 3, 7, …> 表示有失效列表中有3 个长度为3 的失效样式，有7 个长度为4 的失效样式。失效矢量中第d 个值是第一个非零值（小于d 的失效均可恢复）。
最小失效（Minimal Erasure，ME）是一种特殊的失效样式，它的每个失效元素都是必须的，如果去掉其中之一，它就不再是失效样式。
最小失效列表（Minimal Erausre List，MEL）是一个编码的所有最小失效的集合。
最小失效矢量（Minimal Erasure Vector，MEV）是一个长度为m 的矢量，其第i 个元素是MEL 中长度为i 的ME 的个数。
ME 算法具体详见[2] ，其输入是编码的生成矩阵（或Tanner 图），输出为MEL 和MEV。下图给出了 m < 8 和 k < 8 的结果。
下图是m < 11 和 k < 21 所有扁平XOR 码的最大汉明距离。
下图是m < 11 和 k < 21 所有扁平XOR 码中具有最优容错的个数。
下图是下图是m < 11 和 k < 21 所有扁平XOR 码中能够达到最大汉明距离的个数。
[1] 还介绍了如何减少搜索的解空间等优化的方法，并指出搜索算法有部分是Python 写的，用C 能够进一步提高运算速度，并增加m 和k 的值。
之前的文章（http://blog.foool.net/2017/08/用遗传算法解决简单的数学等式问题/） 中介绍了过如何使用遗传算法解决数学等式问题，即寻找满足等式
(a + 2b + 3c + 4d) – 30 = 0
的一组解。适应函数确定后，影响算法好坏的主要依赖于交叉概率（crossover ratio），变异概率（mutation ratio）、初始基因组大小（即用于交叉变异的基因个数）和基因初始阈值。基因初始阈值指的是基因的取值范围，比如等式中变量a/b/c/d 的取值范围，我在实验中限定变量为大小不超过100 的整数。下面给出本文的几个结论。
之前的文章 中寻找的是四元一次等式的一个解，这个解的个数是无穷的，遗传算法能够找到一个解，但每次找到的解也不相同。但如果要用遗传算法解一个包含四个等式的四元一次方程组（唯一解）也是可行的，只是时间话的需要更长。比如遗传算法解四元一次等式平均需294 次迭代，解四元一次方程组需11400 次迭代（所有参数同之前的文章）。本文使用的四元一次方程组为：
(a + 2b + 3c + 4d) – 30 = 0
(2a + 2b + 2c + 2d) – 24 = 0
(3a + 1b + 7c + 1d) – 60 = 0
(4a + 3b + 2c + 1d) – 30 = 0
增加基因组中基因数量，那么每次迭代/循环中的基因数量更多，可能出现解的概率增大。在以四元一次等式为例的实验中，增加基因组大小的确显著减少了迭代的次数，即使考虑了增加基因数目而带来的增量计算，算法仍减少了程序的整体运行时间。
有点调皮了，这个结论是和第二点结论是相左的，如在其他参数相同情况下，随着基因组大小增大，遗传算法在解四元一次方程组需要迭代的次数增加。
下图是在基因组大小为18 时, 遗传算法1000 次测试四元一次等式求解所需要迭代次数的热力图，横坐标是变异率，从5% 到43%，纵坐标是交叉率，从5% 到70% 。热力图颜色范围是0-300，最深颜色表示300 次或300次以上迭代（比如在交叉率是70%，变异率是43%，实际迭代次数是9268次）。
综上，1.借助于适应函数，交叉、变异过程，遗传算法给出了一个在较大解空间快速求解的途径，但具体设计交叉、变异过程需要考虑特定问题；2.选取合适的参数极大影响了遗传算法性能，一般可以通过相似问题（复杂度更低）的参数选择作为参考（但是这种参考也不一定可靠，比如上面例子中，四元一次方程中增大基因组个数可以减少迭代次数，但在四元方程组中增加基因组个数却增加了迭代次数）。
问题来源：需要判断一个长度为N 的0/1 二进制字符串是自循环的概率是多少？自循环指的是一个字符串循环移位s 位仍然可以得到其本身，s 小于字符串长度。比如，010010 是自循环的，因为将这个字符串循环右移三个bits 字符串还是其本身。
通过自循环字符串特征很容易推导出：自循环字符串是周期性字符串，即字符串完全由若干个相同子串拼接得到，上面例子中重复的子串是 010。并且，自循环字符串移位得到其本身需要的最少步数s 和最小子串长度相同，也就是说，计算得到字符串最小重复子串也就得到了其自循环需要移位数s。
那么问题归结为如何找到一个周期性字符串的最小重复子串？
算法：令周期性字符串为S，那么SS 是两个S 的拼接，从SS 第二个字符开始，利用字符串匹配寻找S，如果SS 从第c 个字符开始包含了S 字符串，则S 的最小周期子串长度为c。下面是两个例子：
例子一：S = 010010
SS = 010010010010
结束，最小子串长度为3，即010 。
例子二：S = abaaabaaabaa
SS = abaaabaaabaaabaaabaaabaa
结束，最小子串长度为4，即abaa 。
接着统计了下二进制字符长度（X轴）和周期性字符串个数/概率（Y轴）关系。
可见，自循环字符串个数和概率与其字符串长度有关，总的来说：
Clay Codes ( Clay Codes: Moulding MDS Codes to Yield an MSR Code ) 是FAST18 上提出的一种编码方法，文章地址，Clay 码能够将一般的MDS 码（最优容错）转化为具有最优修复的编码方法，具有以下性质：
首先介绍下Clay 码的设计思想，第二部分从生成矩阵的角度来看看Clay 码如何实现。
首先文章介绍了一些基础概念：
纠删码：纠删码将一段原始数据等分为k 份，进而编码为m 份，共计n=k+m 份，通过将这n 份数据分别存储在n 个不同的存储节点上，达到抵御数据丢失的风险。
标量码/向量码（Scalar code/Vector code）：标量码每个码字在每个节点上包含一个字节，向量码在每个节点上包含若干个字节，共同组合为一个超字节（superbyte），不同节点上超字节共同组成一个码字。
上图表示标量码，下图表示向量码。在磁盘阵列中，每个条带（stripe）也是横跨n 个节点，对应的一个码字，而码字中一个字节（标量码）或者超字节（向量码）则对应着条带中的一个数据块。一个(n,k) 标量码和向量码在生成矩阵中对应的是一个n×k 和nw×kw 矩阵，其中一个超字节包含w 个字节。
MDS 码：最大距离可分（Maximum Distance ）码是一种最优容错编码方法，即编码后的n 份数据最大可容忍任意m 份数据失效，原始数据也不会丢失。常见的RS、CRS、Evenodd、RDP 码都是MDS 码。
修复开销：修复开销指的是重建一个节点数据或单个数据块所需要的数据量（从磁盘读取、从网络传输的数据量）。在存储系统中，单点失效是常态，因此研究更注意单点失效的修复开销。
MSR 码：最小存储再生码（Minimum Storage Regenerating codes，MSR 码）是一类具有最小存储开销下的再生码。再生码是一类能够减少修复开销的纠删码。
原始数据量为M，再生码在每个节点存储的数据量为α。如果每个节点存储量最小，即α=M/k，那么这个再生码是MSR 码，和其他经典(n,k)-MDS 码存储开销相同。当一个节点失效，需要从剩余d<(n-1) 个节点中每个取β<α 数据完成修复，修复开销为dβ。当n-1 时，修复开销最小，为(n-1)α/m。
磁盘开销：再生码是网络编码研究者提出的，在数据修复时在网络上传输的数据量能够达到理论最小，但需要在磁盘上读取大量数据，进而计算得到少量修复数据进行数据修复，因此需要额外的磁盘访问和计算。Clay 码能够减少磁盘开销，即在网络上传输的数据就是从磁盘哦读取的数据。
系统码：系统码编码后保留了原始数据，非系统码编码后只有校验数据。实际存储系统中常见的是系统码，这样数据读取不用解码。
下面以(n=4,k=2) 来介绍Clay 码，一种将一般MDS 码转化为MSR 码的方法。
Clay 是Coupled Layer 的结合，包含了Clay 码的两个特点：1 将MDS 码分层处理；2 分层之间耦合数据。
一个(4,2)-MDS 码编码后的数据有4 份，可以摆放成一个正方形。
四个(4,2)-MDS 码编码后的数据可以形成一个四层的棱柱，四棱柱的四个边对应着四个存储节点，边上的四个点所代表的数据存储于同一个节点。（下图a_0/b_0/c_o/d_0 都存在同一个节点）
耦合是将分层中不同数据进行线性组合，以实现最小修复开销。
图中被耦合的数据块用黄色表示，没有参与耦合的数据块用红色表示，两两耦合对应的数据块如上右图所示。如何选择耦合的数据块对文章中有也介绍，但为什么这样选择文章未提及。
下面谈谈什么是耦合，耦合即通过线性组合两个数据块，不管这两个数据块是原始数据块还是校验数据块。然后再将两个线性组合后的数据块（Coupled）取代两个原来未耦合的数据块（Uncoupled）。下图中(a_0, b_0)，[a_0,b_0] 表示的就是数据块a_0 和b_0 的线性组合。注意：实际中Clay 码在节点上存储的是耦合后的数据，这样才能保证Clay 码的最优修复。
两个数据块的线性组合可以表示为数据块的乘法，解耦同理，如果用C(p) C*(p)表示两个耦合的数据块，解耦即乘以解耦矩阵，
γ 为不等于0的值，使得矩阵（在对应的有限域）满秩即可，比如2。
下面以一个节点的修复来展示Clay 的最小修复开销，(4,2) 编码最小修复开销为(n-1)α/m = 3α/2 = 6，这也是其他MSR 的最小理论修复开销。下图给出了原a_2 数据块所在节点的修复过程。
Clay 修复该节点失效只需要第二层和第三层的剩余数据块（如上图（中）所示），修复步骤如下：
简单推导可以发现其他三个节点也可以以最小开销完成数据修复。
需要注意的是Clay 码这时虽然满足了所有节点的最优修复，但耦合的过程中某些数据已经不再是系统码，因为某些原始数据已经线性组合为校验数据。作者因此提出了一种“耦合-编码-再解耦”的方式来保证Clay 码的系统性（systematic），如下图所示。
首先对原始数据进行耦合，经过MDS 编码后再解耦，这样原始数据还是原始数据，但校验数据不再是MDS 编码后的校验数据了。
但如果是这样理解的话，会存在一个问题：MDS 编码前，耦合的校验数据为空，导致一个原始数据和空数据耦合，那么解耦后的数据能延续刚才的最优修复么？
换个角度，如果耦合的两个数据块中有一个是原始数据，是不是可以选课合适的耦合方程来保证原始数据不发生变化，即数据块a，b 耦合后可以是a，xa+yb（a 是原始数据）或xa+yb，b（b是原始数据）的形式么？但如果需耦合数据都是校验数据块呢？
这几个问题可以通过生成矩阵的方法来解释。
本节用生成矩阵这个工具来展示如何实现Clay 码，即生成(4,2)-Clay 码的生成矩阵并验证其最优修复性质。
首先利用Clay 码“耦合 – MDS编码 – 解耦” 的变换过程构建其生成矩阵。因为三个变换都是线性变换，所以可以用三个矩阵来代替。
注意：前面我们提到解耦矩阵和耦合矩阵是互逆的，这是针对两个需要耦合/解耦数据块而言的，本节所讲的耦合、解耦矩阵是针对所有数据块，且需要在中建添加MDS 编码过程，所以本节耦合、结构矩阵大小不同，更不互逆。
|G| 是Clay 码的生成矩阵，那么
|G| = |U|×|GM|×|C|
|U|是解耦矩阵，|GM| 是MDS编码的生成矩阵，|C| 是耦合矩阵。
首先从最简单的MDS 编码矩阵 |GM| 开始，一层MDS 编码生成矩阵是一个2×2 单位矩阵和2×2 校验矩阵组合得到的4×2 的生成矩阵（如下左图所示）。四层的MDS 编码矩阵如下右图（在生成矩阵右边标出了该行向量对应的数据块）。
为了使得一个码字中原始数据部分放在一起，可以进行一个对齐操作，即将单位矩阵放在上面，新的生成矩阵为|GM|。
根据所对应数据块位置和耦合规则，可以得到解耦矩阵 |U|，如下图所示。
因为MDS 编码后，有16个数据块，所以解耦矩阵|U| 大小为16×16。
耦合矩阵是一个8×8 大小的矩阵（因为四层MDS码有8 个原始数据块，|GM| 大小是16×8）。那么利用|G| 矩阵上半部分是单位矩阵可解出耦合矩阵|C|
|G| = [I P] = |U|×|GM|×|C| → |C| = |I+L×GP|^{-1}
耦合矩阵|C| 是 |I+L×GP| 的逆矩阵，L 是解耦矩阵|U| 右上分块矩阵，GP是MDS 编码生成矩阵|GM| 下半部分的校验部分。
下面介绍程序验证过程。首先是测试当λ=2 时，两个数据块的耦合和解耦矩阵。
当λ=2 时，计算得到的耦合矩阵|C| = |I+L×GP|^{-1} 为
MDS 码采用RS码，|GM| 为
耦合矩阵乘积为 |GM|×|C| 为
最终(4,2)-Clay 码生成矩阵|G|为
最后，用程序验证了这个矩阵的最优修复性质，具体而言，首先将该矩阵等分为4×8 的4个子矩阵，依次失效每个子矩阵，从失效子矩阵以外的矩阵中选取行向量重建该失效子矩阵，所需要选取的子矩阵的行向量个数即需要重建数据块的数量，验证发现所有子矩阵修复都只需要6 个行向量，达到了最小修复开销。
