计算某一点到连接两点的直线距离(矢量方法)

方法一:计算两点形成直线的斜率,斜率的负倒数是某点到该直线的斜率,通过计算垂足到该点距离得到某点到两点形成的直线距离。

方法二:矢量方法,好处是对于任意斜率都可以计算。

问题:已知点A (ax, ay),求到连接点B(bx, by)  和C(cx, cy) 的直线距离。

假设:建立坐标系,向量\vec{a}\vec{b} \vec{c}  分别对应三点的向量,如下图:

绘图1

图中C到直线AB 的垂线是紫色那根(假设垂足为D,图中未标注)。分别求得A 到B 的向量和C 到B的向量:

\vec{AB} = \vec{b}-\vec{a}    \vec{CB} = \vec{b}-\vec{c}

通过计算\vec{AB} \times \vec{CB} 可以推导出红色线段长度为$\mid\vec{CB}\mid \cos\theta $,因为

\vec{AB} \times \vec{CB}  = \mid\vec{AB}\mid \cdot \mid\vec{CB}\mid $ \cos\theta $

再通过勾股定理得到垂线距离:

$\mid CD\mid = \sqrt{\mid\vec{CB}\mid ^2 - (\frac{\vec{AB} \times \vec{CB})^2}{\mid\vec{AB}\mid}}$

$ = \sqrt{(cy-by)^2+(cx-bx)^2-\frac{((bx-ax)(bx-cx)+(by-ay)(by-cy))^2}{(ay-by)^2+(ax-bx)^2}}$

 

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