Clay Codes ( Clay Codes: Moulding MDS Codes to Yield an MSR Code ) 是FAST18 上提出的一种编码方法，文章地址，Clay 码能够将一般的MDS 码（最优容错）转化为具有最优修复的编码方法，具有以下性质：
- Minimum Storage （最小存储开销，同经典RS码和最小存储再生码，MSR）
- Maximum Failure Tolerance（最大容错，即 (n,k)-Clay 码可以容任意n-k 失效）
- Optimal Repair Bandwidth （最优修复开销，能够达到理论最优值）
- All-Node Optimal Repair （最小开销修复所有节点的数据，包括原始数据和校验数据）
- Disk Read Optimal （最优磁盘读）
- Low Sub-packetization （低分包数，即码字长度短）
首先介绍下Clay 码的设计思想，第二部分从生成矩阵的角度来看看Clay 码如何实现。
一 Clay 码的设计思想
1.1 术语
首先文章介绍了一些基础概念：
纠删码：纠删码将一段原始数据等分为k 份，进而编码为m 份，共计n=k+m 份，通过将这n 份数据分别存储在n 个不同的存储节点上，达到抵御数据丢失的风险。
标量码/向量码（Scalar code/Vector code）：标量码每个码字在每个节点上包含一个字节，向量码在每个节点上包含若干个字节，共同组合为一个超字节（superbyte），不同节点上超字节共同组成一个码字。
上图表示标量码，下图表示向量码。在磁盘阵列中，每个条带（stripe）也是横跨n 个节点，对应的一个码字，而码字中一个字节（标量码）或者超字节（向量码）则对应着条带中的一个数据块。一个(n,k) 标量码和向量码在生成矩阵中对应的是一个n×k 和nw×kw 矩阵，其中一个超字节包含w 个字节。
MDS 码：最大距离可分（Maximum Distance ）码是一种最优容错编码方法，即编码后的n 份数据最大可容忍任意m 份数据失效，原始数据也不会丢失。常见的RS、CRS、Evenodd、RDP 码都是MDS 码。
修复开销：修复开销指的是重建一个节点数据或单个数据块所需要的数据量（从磁盘读取、从网络传输的数据量）。在存储系统中，单点失效是常态，因此研究更注意单点失效的修复开销。
MSR 码：最小存储再生码（Minimum Storage Regenerating codes，MSR 码）是一类具有最小存储开销下的再生码。再生码是一类能够减少修复开销的纠删码。
原始数据量为M，再生码在每个节点存储的数据量为α。如果每个节点存储量最小，即α=M/k，那么这个再生码是MSR 码，和其他经典(n,k)-MDS 码存储开销相同。当一个节点失效，需要从剩余d<(n-1) 个节点中每个取β<α 数据完成修复，修复开销为dβ。当n-1 时，修复开销最小，为(n-1)α/m。
磁盘开销：再生码是网络编码研究者提出的，在数据修复时在网络上传输的数据量能够达到理论最小，但需要在磁盘上读取大量数据，进而计算得到少量修复数据进行数据修复，因此需要额外的磁盘访问和计算。Clay 码能够减少磁盘开销，即在网络上传输的数据就是从磁盘哦读取的数据。
系统码：系统码编码后保留了原始数据，非系统码编码后只有校验数据。实际存储系统中常见的是系统码，这样数据读取不用解码。
1.2 编码方法
下面以(n=4,k=2) 来介绍Clay 码，一种将一般MDS 码转化为MSR 码的方法。
Clay 是Coupled Layer 的结合，包含了Clay 码的两个特点：1 将MDS 码分层处理；2 分层之间耦合数据。
一个(4,2)-MDS 码编码后的数据有4 份，可以摆放成一个正方形。
四个(4,2)-MDS 码编码后的数据可以形成一个四层的棱柱，四棱柱的四个边对应着四个存储节点，边上的四个点所代表的数据存储于同一个节点。（下图a_0/b_0/c_o/d_0 都存在同一个节点）
耦合是将分层中不同数据进行线性组合，以实现最小修复开销。
图中被耦合的数据块用黄色表示，没有参与耦合的数据块用红色表示，两两耦合对应的数据块如上右图所示。如何选择耦合的数据块对文章中有也介绍，但为什么这样选择文章未提及。
下面谈谈什么是耦合，耦合即通过线性组合两个数据块，不管这两个数据块是原始数据块还是校验数据块。然后再将两个线性组合后的数据块（Coupled）取代两个原来未耦合的数据块（Uncoupled）。下图中(a_0, b_0)，[a_0,b_0] 表示的就是数据块a_0 和b_0 的线性组合。注意：实际中Clay 码在节点上存储的是耦合后的数据，这样才能保证Clay 码的最优修复。
两个数据块的线性组合可以表示为数据块的乘法，解耦同理，如果用C(p) C*(p)表示两个耦合的数据块，解耦即乘以解耦矩阵，
γ 为不等于0的值，使得矩阵（在对应的有限域）满秩即可，比如2。
1.3 最优修复单点失效
下面以一个节点的修复来展示Clay 的最小修复开销，(4,2) 编码最小修复开销为(n-1)α/m = 3α/2 = 6，这也是其他MSR 的最小理论修复开销。下图给出了原a_2 数据块所在节点的修复过程。
Clay 修复该节点失效只需要第二层和第三层的剩余数据块（如上图（中）所示），修复步骤如下：
- 两个耦合的数据块(b_3,d_1) 和[b_3, d_1] 解耦得到b3 和d1，如上图（右）
- 第二层通过b1，b3 的MDS 解码得到b_0, b_2，第四层MDS 解码得到d_0，d_2
- 利用第二层中[a_2, b_0] 和步骤2 得到的b_0 得到a_2，同理得到c_2；
简单推导可以发现其他三个节点也可以以最小开销完成数据修复。
1.4 系统码
需要注意的是Clay 码这时虽然满足了所有节点的最优修复，但耦合的过程中某些数据已经不再是系统码，因为某些原始数据已经线性组合为校验数据。作者因此提出了一种“耦合-编码-再解耦”的方式来保证Clay 码的系统性（systematic），如下图所示。
首先对原始数据进行耦合，经过MDS 编码后再解耦，这样原始数据还是原始数据，但校验数据不再是MDS 编码后的校验数据了。
但如果是这样理解的话，会存在一个问题：MDS 编码前，耦合的校验数据为空，导致一个原始数据和空数据耦合，那么解耦后的数据能延续刚才的最优修复么？
换个角度，如果耦合的两个数据块中有一个是原始数据，是不是可以选课合适的耦合方程来保证原始数据不发生变化，即数据块a，b 耦合后可以是a，xa+yb（a 是原始数据）或xa+yb，b（b是原始数据）的形式么？但如果需耦合数据都是校验数据块呢？
这几个问题可以通过生成矩阵的方法来解释。
二 Clay 码的生成矩阵
本节用生成矩阵这个工具来展示如何实现Clay 码，即生成(4,2)-Clay 码的生成矩阵并验证其最优修复性质。
首先利用Clay 码“耦合 – MDS编码 – 解耦” 的变换过程构建其生成矩阵。因为三个变换都是线性变换，所以可以用三个矩阵来代替。
注意：前面我们提到解耦矩阵和耦合矩阵是互逆的，这是针对两个需要耦合/解耦数据块而言的，本节所讲的耦合、解耦矩阵是针对所有数据块，且需要在中建添加MDS 编码过程，所以本节耦合、结构矩阵大小不同，更不互逆。
|G| 是Clay 码的生成矩阵，那么
|G| = |U|×|GM|×|C|
|U|是解耦矩阵，|GM| 是MDS编码的生成矩阵，|C| 是耦合矩阵。
首先从最简单的MDS 编码矩阵 |GM| 开始，一层MDS 编码生成矩阵是一个2×2 单位矩阵和2×2 校验矩阵组合得到的4×2 的生成矩阵（如下左图所示）。四层的MDS 编码矩阵如下右图（在生成矩阵右边标出了该行向量对应的数据块）。
为了使得一个码字中原始数据部分放在一起，可以进行一个对齐操作，即将单位矩阵放在上面，新的生成矩阵为|GM|。
根据所对应数据块位置和耦合规则，可以得到解耦矩阵 |U|，如下图所示。
因为MDS 编码后，有16个数据块，所以解耦矩阵|U| 大小为16×16。
耦合矩阵是一个8×8 大小的矩阵（因为四层MDS码有8 个原始数据块，|GM| 大小是16×8）。那么利用|G| 矩阵上半部分是单位矩阵可解出耦合矩阵|C|
|G| = [I P] = |U|×|GM|×|C| → |C| = |I+L×GP|^{-1}
耦合矩阵|C| 是 |I+L×GP| 的逆矩阵，L 是解耦矩阵|U| 右上分块矩阵，GP是MDS 编码生成矩阵|GM| 下半部分的校验部分。
下面介绍程序验证过程。首先是测试当λ=2 时，两个数据块的耦合和解耦矩阵。
当λ=2 时，计算得到的耦合矩阵|C| = |I+L×GP|^{-1} 为
MDS 码采用RS码，|GM| 为
耦合矩阵乘积为 |GM|×|C| 为
最终(4,2)-Clay 码生成矩阵|G|为
最后，用程序验证了这个矩阵的最优修复性质，具体而言，首先将该矩阵等分为4×8 的4个子矩阵，依次失效每个子矩阵，从失效子矩阵以外的矩阵中选取行向量重建该失效子矩阵，所需要选取的子矩阵的行向量个数即需要重建数据块的数量，验证发现所有子矩阵修复都只需要6 个行向量，达到了最小修复开销。
