问题来源：需要判断一个长度为N 的0/1 二进制字符串是自循环的概率是多少？自循环指的是一个字符串循环移位s 位仍然可以得到其本身，s 小于字符串长度。比如，010010 是自循环的，因为将这个字符串循环右移三个bits 字符串还是其本身。

通过自循环字符串特征很容易推导出：自循环字符串是周期性字符串，即字符串完全由若干个相同子串拼接得到，上面例子中重复的子串是 010。并且，自循环字符串移位得到其本身需要的最少步数s 和最小子串长度相同，也就是说，计算得到字符串最小重复子串也就得到了其自循环需要移位数s。

那么问题归结为如何找到一个周期性字符串的最小重复子串？

算法：令周期性字符串为S，那么SS 是两个S 的拼接，从SS 第二个字符开始，利用字符串匹配寻找S，如果SS 从第c 个字符开始包含了S 字符串，则S 的最小周期子串长度为c。下面是两个例子：

例子一：S =  010010

SS = 010010010010

1.  0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0  不是S
2.  0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0  不是S
3.  0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0  是S

结束，最小子串长度为3，即010 。

例子二：S =  abaaabaaabaa

SS = abaaabaaabaaabaaabaaabaa

1.   a b a a a b a a a b a a a b a a a b a a a b a a
2.   a b a a a b a a a b a a a b a a a b a a a b a a
3.   a b a a a b a a a b a a a b a a a b a a a b a a
4.   a b a a a b a a a b a a a b a a a b a a a b a a

结束，最小子串长度为4，即abaa 。

接着统计了下二进制字符长度（X轴）和周期性字符串个数/概率（Y轴）关系。

可见，自循环字符串个数和概率与其字符串长度有关，总的来说：

1. 长度越长，包含的自循环的字符串个数越多，呈指数增加
2. 长度越长，字符串可能是自循环的概率降低，呈指数下降
3. 素数只有两个自循环字符串（全0，全1）
4. 包含分解因子越多，越可能包含更多自循环字符串

最近在做STM32F10x 单片机移植Modbus的工作。Modbus是串口通信中广泛使用的协议，为了将其移植到stm32f10x单片机中，我们通过其开源实现freeModbus 进行了协议分析。stm32f10x 是一款被广泛使用的单片机，具有能耗小、价格低、速度快和中断响应迅速等优点。

首先，本文主要对Modbus 协议分析，有少量涉及到stm32单片机的内容；其次，文章主要以从机作为分析对象。（主从机是通信的一种模式，主机用于发送指令或者查询数据，从机用于应答）。另外Modbus 只有从机开源。

文章中参考了一些网友的资料，如有需要，可以参考下面文章：

1. STM32单片机嵌入式实战教程 （stm32单片机视频讲解）
2. Freemodbus RTU在stm32上的移植分析    （包含Modbus 发送接收状态机）
3. freeModbus 主机的改写 （包含主机部分代码）
4. http://www.freemodbus.org/ （freeModbus 官网）

下面按照几个方面进行协议分析：

一、单片机上串口通信的数据帧

单片机上串口通信通过数据帧完成，但必须规定一帧的开始和结束才能够进行正常的数据读取。简单的方法就是在帧的两端定义特殊的开始字节和结束字节。但这样的话，要求数据部分不能出现与开始字节和结束字节相同的内容，且帧的开始结束都是由应用程序判断。Modbus使用更“硬件”的方法，它通过两个帧之间的时间间隔来判断一个帧，即如果两个字节相隔一段时间（如传输3.5个字符时间），则认为新的的数据是新的一帧。

二、Modbus 启动流程

我们以freeModbus 为例进行分析（从参考[4] 可以下载到freeModbus 的源代码）。源码中mb.c是Modbus 的主要接口函数，include 目录是头文件，tcp/ascii/rtu 是Modbus 支持的三种传输模式，rtu 是最常用的，本文只涉及rtu模式。

主函数main() 中包含三个部分：

eStatus = eMBInit( MB_RTU, 0x0A, 0, 38400, MB_PAR_EVEN );
eMBInit() 是初始化函数，使用“模式，端口，地址，波特率，校验”几个参数初始化系统硬件相关信息。

eStatus = eMBEnable(  );
使能函数，使得Modbus 整个协议栈工作起来。具体会做开启一些中断等工作。

for( ;; ){
( void )eMBPoll( );
}
这是从机的主要工作部分，系统经过简单的配置和使能后，就进入eMBpoll()这样的服务模式，类似于Linux 中I/O多路复用的epoll()，当有事件发生时则做出相应响应。

整个Modbus工作流程如下图，也可以看出初始化、使能和eMBPoll()服务三个部分。

初始化：eMBInit()在mb.c中根据定义的是rtu 还是asccii等模式会给接口函数（函数指针）进行初始化，这样的好处是对应于不同的模式使用统一的接口函数。当模式为rtu时：

pvMBFrameStartCur = eMBRTUStart;     \\开始接收数据帧
pvMBFrameStopCur = eMBRTUStop;       \\停止接收数据帧
peMBFrameSendCur = eMBRTUSend;       \\数据帧已经发送
peMBFrameReceiveCur = eMBRTUReceive; \\数据帧接收完毕
pvMBFrameCloseCur = MB_PORT_HAS_CLOSE ? vMBPortClose : NULL;
pxMBFrameCBByteReceived = xMBRTUReceiveFSM;       \\接收到数据帧内一个Byte
pxMBFrameCBTransmitterEmpty = xMBRTUTransmitFSM;   \\接收到空
pxMBPortCBTimerExpired = xMBRTUTimerT35Expired;    \\发生T35 中断
其中，然后就进入了rtu模式下的初始化eMBRTUInit()，其中主要是对串口中断和时钟中断进行的初始化（xMBPortSerialInit()和xMBPortTimersInit()）。串口中断会开启相应的RCC时钟，配置GPIO口，配置串口模式（速率等），这和一般的单片机串口通信初始化类似；时钟中断初始化也是要开启相应的RCC时钟，设置时钟模式。需要指出：

Modbus用3.5个字符传输时间间隔作为隔断数据的判断依据，即从时钟中断使能开始，3.5个字符传输时间发起一次中断，记作T35

但当速率超过19200时，则使用固定的时间作为中断依据，这些都在eMBRTUInit()源码中有注释。

使能：eMBEnable()是Modbus 的使能函数，主要是通过函数pvMBFrameStartCur()（rtu模式下指向eMBRTUStart()）进行串口中断和时钟中断使能。使能就是使得相应功能能够正常开始工作了。

基于事件的服务模式：eMBPoll()用于循环询问是否有新来事件，有则处理。

三、基于事件驱动的服务模式

从eMBPoll() 源码可以看出：

eMBpoll() 使得整个系统处于一个事件驱动的工作模式，当有新事件到达则处理它，否则就一直循环询问。

进入mb.c 中的eMBpoll() 函数可以看到，首先使用

xMBPortEventGet( &eEvent )

获取可能的事件信息，可能的事件有：

• EV_READY：准备事件，可以开始接收数据了；
• EV_FRAME_RECEIVED：数据帧到达事件，如果是发给自己的数据帧，则发起一个EV_EXECUTE 的事件；
• EV_EXECUTE：执行事件，根据已定义的功能码和功能函数对数据帧进行相应处理 （eException = xFuncHandlers[i].pxHandler( ucMBFrame, &usLength );）；
• EV_FRAME_SENT：数据帧已经发送状态；

那么什么时候系统会产生事件呢：中断和状态改变。当发生中断时，中断处理函数可能修改系统所处状态，并发起事件。系统中可以使用xMBPortEventPost() 发起事件。

四、各种状态

系统设置了几类状态，如eMBErrorCode 类型的eStatus 表示整个系统的总体状态，有下面几种：

• MB_ENOERR,            /*!< no error. */
• MB_ENOREG,            /*!< illegal register address. */
• MB_EINVAL,               /*!< illegal argument. */
• MB_EPORTERR,        /*!< porting layer error. */
• MB_ENORES,             /*!< insufficient resources. */
• MB_EIO,                      /*!< I/O error. */
• MB_EILLSTATE,          /*!< protocol stack in illegal state. */
• MB_ETIMEDOUT        /*!< timeout error occurred. */

eMBState 表示Modbus 协议在系统中的状态，有以下几种：

• STATE_ENABLED
• STATE_DISABLED
• STATE_NOT_INITIALIZED

另外还有数据接收流程和数据发送流程中的不同状态，数据接收状态eRcvState有：

• STATE_RX_INIT,         /*!< Receiver is in initial state. */
• STATE_RX_IDLE,        /*!< Receiver is in idle state. */
• STATE_RX_RCV,         /*!< Frame is beeing received. */
• STATE_RX_ERROR     /*!< If the frame is invalid. */

数据发送状态eMBSndState有：

• STATE_TX_IDLE,      /*!< Transmitter is in idle state. */
• STATE_TX_XMIT       /*!< Transmitter is in transfer state. */

接收状态eRcvState和发送状态eMBSndState都在mbrtu.h/c 中定义，并在mbrtu.c中实现了接收/发送过程的状态机（xMBRTUReceiveFSM和xMBRTUTransmitFSM）。

五、两类状态机

xMBRTUReceiveFSM()和xMBRTUTransmitFSM()两个函数在mbrtu.c中实现了接收和发送过程中的状态机，两种状态机的状态变化在参考[2]中有详细描述，这里引用文中的图。

中断时改变发送接收状态的唯一手段，所以我们必须知道有哪些中断会改变发送和接收状态，从两个状态机来看，无非两种：数据到达或者发送的串口中断和T35对应的时钟中断。

六、两类中断

Modbus 在启动时进行了串口中断初始化和时钟中断初始化，两类中断在有字节到达串口和过了T35时间时会发生中断。串口USART1的中断处理函数为USART1_IRQHandler()，时钟TIM2的中断函数为TIM2_IRQHandler()。前者在portserial.c 中，后者在porttimer.c 中。

下图是串口USART1的中断处理流程，流程中可能不完全包括对发送和接收状态的修改，具体需要在源码中查看。

当捕捉到USART1串口中断时，首先判断是接收中断还是发送中断。在接收第一个字节后，会将发送空闲状态（STATE_RX_IDLE）变化为接收状态（STATE_RX_RCV），此后只要不溢出接收缓冲区就一直接收，没接收一个字符，无论哪个状态都要调用vMBPortTimerEnable()重置时钟中断。接收数据首先要求发送处于发送空闲状态（STATE_RX_IDLE），然后逐个发送数据。

当时钟TIM2中断使能后，每过T35时间系统就会发起TIM2的中断，并由porttimer里的TIM2_IRQHandler() 函数处理，中断处理函数根据数据接收状态（eRcvState）发起不同的事件，如当系统处于初始化状态（STATE_RX_INIT）过了T35时间，表示系统可以进入准备状态（发起准备系统准备EV_READY）接收数据了；如果系统处于数据接收状态，则表示数据数据已经接收完毕（还记得串口中断中如果一直有连续数据进来，则接收一个字节就重新使能时钟中断）；vMBPortTimersDisable()最后失效所有时钟中断（没关系当接收状态发生改变时，系统中断会被开启）。

以上赘言是个人总结和网络资料的汇编。