有限域是纠删码中运算的基础域，所有的编解码和重建运算都是基于某个有限域的。在讲讲为什么纠删码不能基于一般常见的域（自然数域，实数域）之前，需要讲讲域的概念和有限域与其他域的区别。文章将以尽量简单的语言使得更多的读者能够看懂。
一、有限域的基本概念
1. 什么是域？
首先回顾下我们学习数学的历史：从刚开始接触数学时，我们首先学会一些符号（比如从1开始数到100，初中开始学习未知数x, y, z 等），接着开始学习基于这些符号的运算（加减乘除等），这些符号和运算就可以构成一个“域”。比如我们最早接触的是整数域，接着有理数域，然后在高中和大学还接触了虚数域，只不过当时老师没有告诉你这些是域而已。还有一些常见的数不构成域，比如自然数、素数、整数。
2. 域具有哪些性质？
在抽象代数中，域是一个非零的可交换环。在域上可以进行我们常见的加减乘除算法，一个域具有以下性质：
- 加法和乘法的封闭性，加法和乘法结果还在域内
- 加法和乘法的交换律；a + b = b + a 和 a · b = b · a.
- 加法和乘法的分配律：a + (b + c) = (a + b) + c 和 a · (b · c) = (a · b) · c.
- 加法和乘法的分配律：a · (b + c) = (a · b) + (a · c).
- 存在加法和乘法的单位元素：a+0 = a 和 a·1 = 1（这里的0,1 不是自然数的0,1，代表着域上的加法单位元素和乘法单位元素）
- 每个域上的元素都存在其负元和逆元： a+(-a) = 0, a·(a-1) = 1
这些性质和我们平时遇到的许多运算性质相同，这是因为我们很多运算就是在域上进行的。
