一些关于矩阵的基础知识

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一、特殊矩阵

正方矩阵/方阵( Square matrix )     大小为n×n 的矩阵

单位矩阵( Identity matrix )             对角线上元素为1，其余元素为0 的方阵，常用I 表示

置换矩阵( Exchange matrix )        反对角线上元素为1，其余元素为0 的方阵，常用J 表示

对角矩阵( Diagonal matrix )          非对角线上元素全为零的方阵

对称矩阵( Symmetric matrix )       满足矩阵中元素eij = eji   的方阵

三角矩阵(Triangle matrix)             分为上三角矩阵（元素eii 以上元素为零）和下三角矩阵

正交矩阵(Orthgonal matrix)          满足MTM = I 的方阵，矩阵和矩阵转置的乘积为单位矩阵

二、有名的一些矩阵

1. Hadamard 矩阵

Hadamard 矩阵形式如下：

\begin{bmatrix}H&H\\H&-H\end{bmatrix}

Walsh matrices作为hadamard 矩阵的一个特例，定义如下：

$H_1 = \begin{bmatrix}1\end{bmatrix}$ 

$H_2 = \begin{bmatrix}1&1\\1&-1\end{bmatrix}$

$H_{2^{k-1}} = \begin{bmatrix}H_{2^{k-1}}&H_{2^{k-1}}\\H_{2^{k-1}}&-H_{2^{k-1}} \end{bmatrix} = H_{2} \otimes H_{2^{k-1}}$

其中\otimes表示的是Kronecker product（kronecker 乘积）

基本性质：

      1. kron(Hm, Hn) = Hm×n
      2. Hadmard 矩阵的行是正交的
      3. Hadmard 矩阵的任意行，或者任意列乘以-1 还是Hadmard 矩阵
      4. 对于所有矩阵A 行列式的值（det(A) < abs(Hn)）都满足abs(A(i,j)) ≤ 1

 

2.  Hankel 矩阵

Hankel 矩阵定义如下：

H(i, j) = H(i-1, j+1)

其形式如下：

$\begin{bmatrix} a&b&c&d&e\\ b&c&d&e&f\\ c&d&e&f&g \\ d&e&f&g&h \\e&f&g&h&i \end{bmatrix}$

基本性质：

      1. 对称的
      2. A+B 和 A-B 还是Hankel 矩阵

 

3.  Hilbert 矩阵

Hilbert 矩阵定义如下（Hilbert matrix 是Hankel matrix 的一个特例）：

H(i,j) = 1/(i+j-1)

下面是一个Hilbert 的例子：

$\begin{bmatrix}\frac{1}{1}&\frac{1}{2}&\frac{1}{3}&\frac{1}{4}\\ \frac{1}{2}&\frac{1}{3}&\frac{1}{4}&\frac{1}{5}\\ \frac{1}{3}&\frac{1}{4}&\frac{1}{5}&\frac{1}{6} \\ \frac{1}{4}&\frac{1}{5}&\frac{1}{6}&\frac{1}{7} \end{bmatrix}$

基本性质：

      1. 对称方阵
      2. Hilbert 矩阵的逆矩阵总是整数矩阵
      3. n×n 的Hilbert 矩阵 $det(H) = \frac{c_{4}^{n}}{c_{2n}}$ ， 其中$c_n = \displaystyle\prod_{i=1}^{n-1}i^{n-i} = \displaystyle\prod_{i=1}^{n-1}i! $

 

4.  Vandermonde 矩阵

Vandermonde 矩阵定义如下：

$\begin{bmatrix} \alpha_1^{0}&\alpha_1^{1}&\alpha_1^{2}&\cdots&\alpha_1^{n-1}\\ \alpha_2^{0}&\alpha_2^{1}&\alpha_2^{2}&\cdots&\alpha_2^{n-1}\\ \vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\\alpha_m^{0}&\alpha_m^{1}&\alpha_m^{2}&\cdots&\alpha_m^{n-1}\\ \end{bmatrix}$

基本性质：

      1. 任意i (i<min(m,n)) 行满秩
      2. $det(V) = \displaystyle\prod_{1\leq i < j \leq n} (\alpha_j - \alpha_i) (\alpha_j - \alpha_i)$

 

P.S. 写完以后发现我又闭门造车了，请读者参考这里吧：

http://en.wikipedia.org/wiki/List_of_matrices

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