用遗传算法解决简单的数学等式问题

[翻译]原文:Genetic Algorithm for Solving Simple Mathematical Equality Problem

[翻译]地址:https://arxiv.org/ftp/arxiv/papers/1308/1308.4675.pdf

[翻译]目的:文章旨在为新手解释什么是遗传算法。并使用遗传算法这个工具一步步解决一个具体的数学问题——求解数学等式的解。

基本理念

在通过遗传算法寻找问题解的过程中,用染色体来表示一个解,一堆染色体叫做种群。染色体由基因构成,基因可以是数值的、符号的也可以是其他类型数据结构(视所解决的问题来定)。染色体通过环境适应度来衡量这个解对于问题的优劣程度。种群中的染色体通过交叉(交配)遗传到下一代,子代染色体是父代基因的组合。基因还会发生突变,遗传算法中使用交叉率和突变率来控制。

算法步骤

  1. 决定染色体数目、循环代数(决定遗传多少代)、突变率和交叉率;
  2. 产生染色体种群,并使用随机值初始化染色体中的基因
  3. 重复步骤4-8(重复次数等于循环代数)
  4. 考量每个染色体的适应值
  5. 染色体选取
  6. 交叉
  7. 变异
  8. 产生新的后代染色体
  9. 得到最终解

算术问题

以求解多元一次不等式 a+2b+3c+4d=30 为例,使用遗传算法找到a b c d 值满足该等式。很显然可以使用这样一个函数衡量适应度

f (x) = |(a + 2b + 3c + 4d) - 30|

a b c d 初始化为0到30之间的一个自然数。

步骤一 初始化                            (下面步骤不完全和算法步骤对应)

随机生成六个染色体Chromosome[1-6]。

Chromosome[1] = [a;b;c;d] = [12; 5; 23; 8]

Chromosome[2] = [a;b;c;d] = [ 2; 21; 18; 3]

Chromosome[3] = [a;b;c;d] = [10; 4; 13; 14]

Chromosome[4] = [a;b;c;d] = [20; 1; 10; 6]

Chromosome[5] = [a;b;c;d] = [ 1; 4; 13; 19]

Chromosome[6] = [a;b;c;d] = [20; 5; 17; 1]

步骤二 评估

计算每个染色体的适应度。

F_obj[1] = Abs(( 12 + 2*05 + 3*23 + 4*08 ) - 30) = 93

F_obj[2] = Abs((02 + 2*21 + 3*18 + 4*03) - 30) = 80

F_obj[3] = Abs((10 + 2*04 + 3*13 + 4*14) - 30) = 83

F_obj[4] = Abs((20 + 2*01 + 3*10 + 4*06) - 30) = 46

F_obj[5] = Abs((01 + 2*04 + 3*13 + 4*19) - 30) = 94

F_obj[6] = Abs((20 + 2*05 + 3*17 + 4*01) - 30) = 55

步骤三 选择

适应度是越小越好,我们将适应度取倒数(加1避免出现除以0的错误),并归一化得到一个概率P

Fitness[1] = 1 / (1+F_obj[1]) = 1 / 94 = 0.0106

Fitness[2] = 1 / (1+F_obj[2]) = 1 / 81 = 0.0123

Fitness[3] = 1 / (1+F_obj[3]) = 1 / 84 = 0.0119

Fitness[4] = 1 / (1+F_obj[4]) = 1 / 47 = 0.0213

Fitness[5] = 1 / (1+F_obj[5]) = 1 / 95 = 0.0105

Fitness[6] = 1 / (1+F_obj[6]) = 1 / 56 = 0.0179

总计 Total = 0.0106 + 0.0123 + 0.0119 + 0.0213 + 0.0105 + 0.0179 = 0.0845

P[1] = 0.0106 / 0.0845 = 0.1254

P[2] = 0.0123 / 0.0845 = 0.1456

P[3] = 0.0119 / 0.0845 = 0.1408

P[4] = 0.0213 / 0.0845 = 0.2521

P[5] = 0.0105 / 0.0845 = 0.1243

P[6] = 0.0179 / 0.0845 = 0.2118

从结果可以看出基因4具有最高的适应度。接下来计算累计概率分布CPD:

C[1] = 0.1254

C[2] = 0.1254 + 0.1456 = 0.2710

C[3] = 0.1254 + 0.1456 + 0.1408 = 0.4118

C[4] = 0.1254 + 0.1456 + 0.1408 + 0.2521 = 0.6639

C[5] = 0.1254 + 0.1456 + 0.1408 + 0.2521 + 0.1243 = 0.7882

C[6] = 0.1254 + 0.1456 + 0.1408 + 0.2521 + 0.1243 + 0.2118 = 1.0

%e4%bf%a1%e6%81%af

然后生成六个随机数R[i=1,2,3,4,5,6],通过这六个随机数在上图中的位置区间选择新的染色体,比如,当随机数在0.4118到0.6639之间则选择染色体4。不难看出,这种方法反应了适应度好的染色体具有更大概率被选择。

随机生成的六个随机数如果是:

R[1] = 0.201

R[2] = 0.284

R[3] = 0.099

R[4] = 0.822

R[5] = 0.398

R[6] = 0.501

那么相应的六个新的染色体是:

NewChromosome[1] = Chromosome[2] = [ 2; 21; 18; 3]

NewChromosome[2] = Chromosome[3] = [10; 4; 13; 14]

NewChromosome[3] = Chromosome[1] = [12; 5; 23; 8]

NewChromosome[4] = Chromosome[6] = [20; 5; 17; 1]

NewChromosome[5] = Chromosome[3] = [10; 4; 13; 14]

NewChromosome[6] = Chromosome[4] = [20; 1; 10; 6]

 

步骤四 交叉

假设交叉率为25%(0.25),那么生成6个随机数,如果随机数小于交叉数,则对应的染色体被选择用于交叉。比如随机数为:R[1] = 0.191, R[2] = 0.259, R[3] = 0.760, R[4] = 0.006, R[5] = 0.159,R[6] = 0.340。那么得到用于交叉的三对染色体是NewChromosome[1], NewChromosome[4] 和NewChromosome[5]。交叉方式为:

NewChromosome[1] >< NewChromosome[4]

NewChromosome[4] >< NewChromosome[5]

NewChromosome[5] >< NewChromosome[1]

下面决定从那个位置进行交叉。因为染色体长度为4,则随机生成1-(4-1) 大小的随机数,随机数用于表示基因从哪里开始交叉。

C[1] = 1 C[2] = 1 C[3] = 2

CrossChromosome[1] = [ 2; 21; 18; 3] >< [20; 5; 17; 1] = [ 2; 5; 17; 1]     // C[1] = 1

CrossChromosome[2] = [20; 5; 17; 1] >< [10; 4; 13; 14] = [20; 4; 13; 14]     // C[2] = 1

CrossChromosome[3] = [10; 4; 13; 14] >< [ 2; 21; 18; 3] = [10; 4; 18; 3]    // C[3] = 2

那么剩余的种群中则有染色体:

NewChromosome[2] = [10; 4; 13; 14]

NewChromosome[3] = [12; 5; 23; 8]

NewChromosome[6] = [20; 1; 10; 6]

CrossChromosome[1] = [ 2; 5; 17; 1]

CrossChromosome[2] = [20; 4; 13; 14]

CrossChromosome[3] = [10; 4; 18; 3] 

步骤五 突变

假设突变概率为10%(0.1)。考虑到6个染色体中每个有6个基因,那么将有4×6×0.1= 2.4 ≈ 2个基因发生突变,通过产生两个1-24范围的数值得到突变染色体位置(假设为12和18)。接着还产生两个1-30之间的随机数作为突变后的结果(假设为2 和 5)。那么得到新的种群如下(红色为突变基因):

Chromosome[1] = [10; 4; 13; 14]

Chromosome[2] = [12; 5; 23; 8]

Chromosome[3] = [20; 1; 10; 2]

Chromosome[4] = [ 2; 5; 17; 1]

Chromosome[5] = [20; 5; 13; 14]

Chromosome[6] = [10; 4; 18; 3] 

步骤六 回到步骤二进行迭代

步骤七 至循环代数次结束

步骤六和步骤七类似,不再赘述。

整个过程如下图所示:

发表评论

电子邮件地址不会被公开。 必填项已用*标注

此站点使用Akismet来减少垃圾评论。了解我们如何处理您的评论数据